TEMA 5: Vistas en 3D


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1 TEMA 5: Vistas en 3D

2 Índice. Proecciones. Proección Paralela 2. Proección Perspectiva 2. Transformación de Vista. Introducción 2. Parametros de vista 3. Obtención de los vectores del nuevo sistema 4. Construcción de la matri de vista 3. Algoritmos de recorte. Algoritmo de Cohen Sutherland 2. Algoritmo de Crus - Beck

3 Proecciones La proección es una transformación que convierte la representación tridimensional de una escena sobre un plano bidimensional la pantalla Debemos proectar toda nuestra escena 3D sobre un plano, para convertirlo en un dibujo 2D Finalmente este dibujo plano se traslada a la pantalla

4 Teoría de las proecciones La proección de un punto viene definida por la intersección entre el plano de proección el rao que une dicho punto con el centro de proección A A A B A B B B centro de proección centro de proección en el infinito La proección de una línea sigue siendo una línea sólo se necesita proectar sus etremos llamar a Bresenham!

5 Tipos de proecciones La proección más usada es la proección geométrica planar Se llama geométrica cuando los raos de proección son rectos Se llama planar cuando la superficie de proección es un plano Eisten otros tipos de proección no geométrica no planar La proección geométrica plana es de dos tipos Perspectiva: la distancia del centro de proección al plano es finita Paralela: la distancia es infinita sólo se especifica la dirección de vista todos los raos son paralelos

6 Proección paralela El caso más sencillo es la proección paralela ortográfica El plano de proección es uno de los planos principales (ejemplo plano XY) La dirección de proección es el eje perpendicular (ejemplo eje Z) Solamente ha que eliminar la componente Z Q (,) Y Q(,,) X Z Se pierde información sobre la profundidad Las líneas paralelas permanecen paralelas Los ángulos sólo se mantienen en las caras paralelas al plano de proección

7 Proección paralela Es inmediata de calcular Se utilia en programas de modelado, donde se muestran tres vistas simultáneas del objeto

8 Proección perspectiva Simula el comportamiento de una cámara o del ojo humano Aumenta el realismo de la imagen, al dar sensación de profundidad El tamaño de un objeto varía invers. proporcional a la distancia del objeto al plano de proección No es útil para reconocer formar ni medir longitudes: Las distancias son falsas Los ángulos no se mantienen Las líneas paralelas dejan de serlo

9 Cálculo de las epresiones Generalmente se usa un sistema de mano iquierda, donde El eje Z representa la dirección de vista El eje Y representa la vertical del observador El eje X representa la horiontal del observador Q (, ) Q(,,) Y X D Z Sea Q(,,) un punto 3D que se proecta sobre el punto Q (, ) Queremos calcular las coordenadas de Q a partir de Q La distancia D al plano de proección se supone conocida

10 Cálculo de las epresiones Se resuelve por la regla de los triángulos semejantes: Y Q(,,) D Z Q (u,v) X Q (u,v) Q(,,) D v D v D Z u D u D Los objetos más alejados (>>) tiene componentes más pequeñas La epresión es válida también para puntos detrás del plano del ojo Qué ocurre si variamos D?

11 Obtención de la matri de perspectiva La epresión final para la perspectiva es: Cómo pasarlo a forma matricial? Inicialmente parece imposible, pues no es una epresión lineal D D D ' / ' / ' La solución pasa por usar la componente homogénea: ' ' / ' / ' h D D D h D D D ' ' ' ' D h / ' ' ' ' De esta forma la matri queda: / D P Y la transformación queda: P Q Q '

12 Obtención del resultado Después de aplicar la matri el resultado queda: Q ' Q P (,,,) P (,,, / D) Para obtener las coordenadas 2D del punto proectado, dividimos e por la componente homogénea v Q(8,6,) Q (4,3) u D5 Es aconsejable seguir utiliando coordenadas homogéneas: Código más sencillo efica Permiten recuperar el punto original a partir del proectado

13 Ejemplo El plano de proección es correcto (paralelo al plano XY) Pero la posición del observador no ha que trasladar para que esté en el origen

14 continuación Trasladamos el ojo al origen: ),, ( d b a d b a T Hacemos la perspectiva: Deshacemos la traslación: / d P ),, ( d b a d b a T TPT M / / / d d b d a,), (2,,2),2 (4 ' b a b a PM P El punto proectado estará en: d d a 3a

15 Transformación de vista En un caso general, el ojo puede estar en cualquier posición, mirando en cualquier dirección La transformación de vista consiste en cambiar el sistema de coordenadas global de toda la escena a otro sistema centrado en el ojo u v w El paso final será realiar la proección perspectiva en el nuevo sistema para obtener la foto final

16 Parámetros de vista El plano de proección suele venir definido por un punto del plano (VRP) un vector normal (VPN) v VUP VPN También hace falta un vector que indique la verticalidad del observador (VUP) v VRP La posición del ojo también ha de ser conocida (COP) w u El punto COP será el origen del sistema de referencia 3D para hacer la perspectiva COP u

17 Parámetros de vista Normalmente el observador no puede ver la escena completa Ha que definir una ventana rectangular en el interior del plano de proección para delimitar la foto La ventana el ojo forman una pirámide volumen de vista La línea entre el ojo el centro de la ventana (C) indica la dirección de vista C v La pirámide de vista suele truncarse por dos planos de recorte u El objetivo es evitar objetos mu lejanos o ecesivamente cercanos

18 Obtención de los vectores del nuevo sistema Lo primero es obtener los 3 vectores del sistema de referencia del ojo (u,v,w) El vector w siempre coincide con el vector normal al plano, VPN w VPN El vector v suele ser VUP, ecepto cuando VUP no pertenece al plano de proección v VUP En ese caso ha que proectarlo v VUP ( VPN VUP) VPN w VPN El vector u es perpendicular a los dos anteriores, apuntando a la derecha del observador: u VPN v

19 Construcción de la matri de vista A continuación ha que hacer un cambio de sistema de referencia para pasar del sistema de coordenadas global al sistema del ojo Para ello se usa la fórmula para el cambio de sistema de referencia: Trasladar el sistema nuevo al viejo Rotar la cámara para hacer coincidir los sistemas u v w R o o o T M ),, ( La matri final queda: w v u w v u w v u o o o M Los vectores (u,v,w) deben estar normaliados!

20 Afilamiento adicional Cuando la dirección de vista no coincida con el eje Z, habrá que realiar un afilamiento para que coincidan u v C w c c c D ( ) ( ) c c c c ' / ' / ' La epresión para el afilamiento es: La matri es: / / c c c c A ( ) ( ) c c c c / / La recta que se quiere afilar es: La matri final M de transformación de vista es: A R o o o T M ),, (

21 Ejemplo

22 continuación Información de partida: VPN <,, > COP (,5,5) VUP <,, > Lo primero es obtener la epresión de los vectores (u,v,w) del sistema del ojo: w VPN VPN <, 2, 2 > Como el vector VUP pertenece al plano de proección, no hace falta proectarlo para calcular v: v VUP VUP <, 2, 2 > El vector u es el producto vectorial de los dos anteriores: u w v <,, >

23 continuación a) Calcular la matri de transformación de vista: No hace falta afilamiento porque no se ha especificado ninguna ventana

24 continuación b) Obtener las coordenadas de los puntos en el nuevo sistema:

25 continuación c) Calcular la matri de proección perspectiva: d) Obtener dibujar los puntos proectados:

26 continuación P P 4 P 2 P 3

27 Ejemplo

28 continuación El ojo a está en el origen no ha que trasladar La matri de transformación de vista es entonces: M R El centro de la ventana es el punto C ( 4,5,8) Después de transformado sale el punto C' C M (5,8,4) (,,4) v w C Es necesario afilar la recta que pasa por el centro de la ventana al eje Z c 5 c 4 c 8 u

29 continuación u v C w c 5 c 8 c / 5 La recta que se quiere afilar es: La matri de afilamiento es: / A La matri final de transformación de vista es: / A R M

30 continuación b) Obtener la matri de perspectiva, calcular la proección del segmento La matri de perspectiva es: P / 4 Los puntos proectados son: A' ( 8,,6,) M P (,,8,2) (,,4,) B' ( 6,9,5,) M P (3/ 2,3,6,3/ 2) (,2,4,) A(-8,,6) v w C(-4,5,8) El punto A debe caer en el mismo centro de la foto u

31 Etapas en la creación de la imagen Posicionar objetos en el sistema 3D ' ' Transformación de vista ' Recorte 3D Proección Transformación a ventana

32 Recorte 3D Antes de proectar la imagen debemos recortar la escena frente al volumen de visualiación Básicamente se trata de un problema de intersección de rectas planos Las rectas son las aristas de los polígonos Los planos son las 6 caras del volumen de visualiación

33 Algoritmo de Cohen-Sutherland 3D Igual que en el caso 2D, se ejecuta primero un test inicial para reducir el número de intersecciones a calcular A cada etremo de la línea le asignamos un código de 6 bits Cada bit indica si el punto está a un lado o a otro de cada cara Cuando se usa proección paralela, el volumen de vista es un cubo En ese caso, los bits del código se calculan con simples restas como en la versión 2D (- ma )

34 Cálculo de los códigos en perspectiva Cuando se usa proección perspectiva, el volumen de vista es una pirámide truncada (frustum) Q El cálculo de los códigos es ligeramente diferente Por ejemplo, tomemos la cara superior, donde conocemos las coordenadas del punto Q La ecuación del techo es ( Q Q ) a / La función es entonces f T a > El punto está por encima del volumen El punto está dentro del volumen Necesitamos una función de decisión para cada cara

35 Cálculo de la intersección En total, para calcular ambos códigos sólo hacen falta 2 restas, 2 productos 2 comparaciones Finalmente una operación binaria AND entre ambos códigos nos etiquetaría la línea como invisible, completamente visible, o caso de duda A las líneas en caso de duda, se les calcula la intersección con una de las caras P (,, ) Suele elegirse una cara en donde el bit sea distinto en ambos códigos La intersección se puede calcular en parámetricas de esta manera: a+b+c+d t a + b + c + d a( 2 ) + b( 2 ) + c( 2 ) P 2 ( 2, 2, 2 ) Finalmente la línea se subdivide en dos, se vuelve a aplicar el test a cada tramo

36 Recortar la arista AB, siendo: Q (,2,5), A (,5,6) B (,,8) Ejemplo Q A B Calculamos las funciones de decisión para cada cara Ejemplo: cara superior 2 / 5 f T Obtenemos los códigos para A B: Calculamos la intersección con la cara superior ( 5 4t) 2 / 5(6 + 2t) t 3/ 24 P (,7 / 6,85 /2) Obtenemos las subaristas AP PB: La primera sale completamente invisible La segunda sale completamente visible

37 Algoritmo de Crus-Beck 3D Similar al caso en 2D Se elige un punto F arbitrario para cada cara Sea P(t) un punto sobre el segmento, t en [,] Sea v(t) el vector desde F hasta un punto cualquiera del segmento Sea el producto escalar N i v(t) La intersección se produce cuando v( t) Desarrollando despejando t obtenemos: N N i ( P( t) F )... v( t) N i N i ( P ) P( t) P + t P v(t) v( t) P P( t) F t N N i i ( P F ) ( P P ) F P Ha que controlar que el denominador no se haga cero

38 Cálculo del tramo visible Aplicando la fórmula obtenemos los 6 valores de t que indican las intersecciones de la línea con las 6 caras. Cómo identificamos cuáles son las dos correctas? Los valores de t fuera del rango (,) se descartan Cada valor de t se etiqueta como entrante (t E ) o saliente (t S ), según entre o salga con respecto al volumen Cómo saberlo? Mirando el signo de N i Si es negativo punto entrante Si es positivo punto saliente ( ) P P P t E La solución viene dada por el tramo de línea entre el P E más alto el P S más bajo t E Si t E > t S la línea no se dibuja Una ve obtenidos los valores de t, se sustituen en la ecuación parámetrica para obtener las coordenadas (,,) de los puntos t S P

39 Ejemplo de recorte con volumen rectangular Sea P (-2, -, /2), P (3/2, 3/2, -/2) Primero calculamos las normales Como puntos conocidos tomamos las esquinas LEFTTOP P (,,) La dirección del segmento es D ( 7 / 2,5/ 2, ) (-,-,-) P mínimo t S máimo t E La línea recortada es el segmento entre los puntos: P( 2 / 7) P + (2 / 7) D (, 2 / 7,3/4) P( 4 / 5) P + (4 / 5) D (4 / 5,, 3/) OJO: en este ejemplo las normales se han tomado hacia dentro Ahora entrantes salientes tienen signo contrario

40 Recorte con volumen en perspectiva Cuando el recorte es en perspectiva, el volumen de recorte es una pirámide truncada v 2 v v 3 Como punto perteneciente a las 4 caras laterales se puede tomar el ojo (,,) Pero cómo podemos calcular las normales? v 4 (,,) Necesitamos conocer dos vectores pertenecientes a cada cara Entonces, el producto vectorial de cada pareja de vectores nos da la normal n T v v 2 Ejemplo: (suponiendo que queremos las normales hacia fuera)

41 Ejemplo

42 continuación

43 continuación

44 continuación

45 continuación

46 Resumen de lo visto

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