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1 PROGRAMACIÓN LINEAL CONTENIDOS: Desigualdades e inecuaciones. Sistemas lineales de inecuaciones. Recintos convexos. Problemas de programación lineal. Terminología básica. Resolución analítica. Resolución gráfica. La programación lineal surgió especialmente para dar respuesta a cuestiones de carácter logístico y militar, aunque es en la industria y en la economía donde, posteriormente, ha encontrado sus aplicaciones más importantes. Así, por ejemplo, la programación lineal permite resolver problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, almacenaje, planes de producción, escalonamiento de la fabricación, problemas de circulación, planes de optimización de semáforos, etc. Recintos convexos. Una ecuación lineal de la forma ax+by+c=0 representa una recta en el plano. Una inecuación lineal de la forma ax+by+c 0 o bien ax+by+c 0 representa el conjunto de puntos de cada uno de los dos semiplanos en los que la recta ax+by+c=0 divide al plano. ax+by+c 0 ax+by+c 0 Ejemplo a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: y y x x 0 b) Indica si los puntos (0, 0), (2, ) y (, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior. a) y = Representamos las rectas y x = y = x + x = 0 y = x

2 Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es: b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, ) no son soluciones del sistema, pero (, 2) sí lo es. Problemas de programación lineal. Terminología básica. Un problema de programación lineal para dos variables consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de la forma z=ax+by que llamamos función objetivo, sujeta a un sistema de desigualdades lineales: ax + b y d a2 x + b2 y d que llamamos restricciones. Cada desigualdad lineal anterior determina un semiplano. El conjunto de los puntos que cumplen todas las desigualdades determina un recinto, acotado o no. A los puntos del recinto, por cumplir todas las restricciones, se les denominan soluciones factibles. Solución óptima es una solución factible que haga máxima o mínima la función objetivo. El valor que toma la función objetivo z en la solución óptima, es decir, en el punto que la maximiza o minimiza, recibe el nombre de valor del programa lineal. Se demuestra que si existe una única solución óptima, ésta se encuentra en un vértice del recinto. Por tanto, calcularemos las coordenadas de los vértices del recinto y evaluaremos la función objetivo en cada uno de ellos. En el vértice que la función objetivo tome el mayor valor, ese será el máximo o la solución óptima. Análogamente para el mínimo. En algunos casos es posible que existan infinitas soluciones y todas ellas se encontrarán en un lado del recinto que será paralelo al vector que marca la dirección de la función objetivo. También es posible que no exista solución óptima, pues si el recinto no está acotado superiormente la función objetivo crecerá indefinidamente, no encontrando nunca el máximo. Del mismo modo, si el recinto no está acotado inferiormente la función objetivo decrecerá indefinidamente, no encontrando nunca el mínimo. Para obtener el máximo o el mínimo por métodos gráficos basta desplazar una recta paralela a la determinada por la función objetivo; en el vértice del recinto que tenga la recta mayor ordenada en el origen, estará el máximo. Análogamente para el mínimo. Por lo tanto para hallar gráficamente, la solución de un problema de programación lineal de dos variables es conveniente seguir este proceso: 2

3 Se dibuja el recinto limitado por las restricciones Se representa el vector director de la recta que viene dada por la ecuación que hay que maximizar o minimizar. Se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por cada uno de los vértices del recinto, y se observa en qué vértice la función z se hace máxima (o mínima), sin más que tener en cuente cuál de las rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen. Ejemplo Maximiza la función z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones: x 26 4x 44 2x 28 x y Representamos las rectas x = 26 y = 26 x 44 4x 4x = 44 y = 28 2x 2x = 28 y = y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x e y. Representamos la dirección de las rectas z = x + y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x + y = 0 El punto M, intersección de 4x = 44 2x = 28 es decir, M ( 8, 4 ), es el que proporciona el máximo, que vale: z = = 2 Ejemplo- Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla: El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 20 en montaje y 80 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 00 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio?

4 o Llamamos x al n de neveras utilitarias e Resumimos los datos en una tabla: y al n o de neveras de lujo. Las restricciones son: x 20 x + 6y 80 x x + y 40 x + 2y 60 La función que nos da el beneficio es z = 00x + 400y = 00(x ). Debemos obtener el máximo de esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 00(x ) = 0 x = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 00x + 400y: El máximo se alcanza en el punto es decir, en (20, 20). de intersección de las rectas: x + y = 40 ; x + 2y = 60 Por tanto, deben fabricarse 20 neveras de cada uno de los dos tipos. El beneficio será z = = euros. Ejemplo Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 0% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las de tipo A y, como mínimo, euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual? Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B. Resumimos los datos en una tabla: 4

5 Las restricciones son: x + y x y 6000 x 2y x La función que nos da el rendimiento total es: 2 z = 0, x + 0,08y = + y ( 0x + 8y ) = ( 5x ) = ( 5x 4 ). Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 0000) y la recta 5x = 0 5x = 0, que nos da la dirección de las z = ( 5x ). ( ) rectas El máximo se alcanza en el punto (, 8). Por tanto, debemos invertir 0000 euros en acciones del tipo A y euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de z = ( ) = euros. EJERCICIOS.. Representar gráficamente el conjunto de puntos que verifica las siguientes inecuaciones: y x y 8 x y 2 2x + 5y 5

6 2. Determinar el máximo valor de la función F(x,y)=x+y en el recinto: x 0 0 y 2 2x+y 4. Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y 0 0 x 0 y 2 Para qué valores de la región es máxima la función z=5x+2y? Y mínima? 4. Maximizar z=x+y sujeta a x+y 26 4x+y 44 2x+y 28 x 0 y 0 5. Minimizar la función z = x + y 2 x 0 y 0 x+2y-2 0 en el conjunto x+4y Maximizar la función z=x+2y sujeta a las restricciones: 7x + 5y 0 7x 5 2x y 0 x y 7. Maximizar la función z=5x+4y en el recinto: 2x + 5y 20 6x + 8y 80 5x + 0y 00 x y 8. Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x+2y 0 x+y 2 x 8 x 0 y 0 Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y)=x-y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones anteriores. 9. Pablo dispone de2000 ptas. para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de los libros es de 400 ptas. y el de los discos es de 200 ptas. Suponiendo que desea comprar como mucho doble número de libros que de discos, se pide: a) Formular el problema y representarlo gráficamente. 0. En una granja de pollos se da una dieta para engordar con una composición mínima de 5 unidades de una sustancia A y otras 5 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad A y 6

7 cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 000 ptas. y el del tipo Y es de 000 ptas. Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?.. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y de 0 minutos para el B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para A y de 0 minutos para B. Se dispone para el trabajo manual de 00 horas al mes y para la máquina de 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de y 00 para A y B respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. 2. Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones A y B y quiere transportar 00 Tm de material al lugar de una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones de l tipo A con una capacidad de 5 Tm y con un costo de 4000 ptas. por viaje y de 0 camiones del tipo B con una capacidad de 5 Tm y con un costo de 000 ptas. por viaje, se pide: a) El número de camiones de cada tipo que debe usar para que el coste sea mínimo y el valor de dicho coste.. Una compañía tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 20 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana ptas. y por cada viaje del B. Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? 4. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las de tipo A precisan g de oro y,5 g de plata, vendiéndolas a 4000 ptas. cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea,5 g de oro y g de plata, y les vende a 00 ptas. El orfebre tiene sólo en el taller 7 g de cada uno de los metales. Calcular cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. Calcula dicho beneficio. 5. Calcular los valore x e y que hacen máxima y los que hacen mínima la función z=x+2y en la región del plano determinado por las restricciones: 6x+7y- 0 x+2y 0 y 6x Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x+y- 0 0 x 0 y 2 Para qué valores (x,y) de la región es máxima la función z=5x+2y? Para cuáles es mínima?. 7

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